首页 > 已知向量a=（2cosx，2sinx），b=(cosx，-3cosx)，函数f（x）=a•b，g(x)=f(π6x+π3)+ax（a为常数）．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）若函数g（x）

已知向量a=（2cosx，2sinx），b=(cosx，-3cosx)，函数f（x）=a•b，g(x)=f(π6x+π3)+ax（a为常数）．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）若函数g（x）

题目简介

已知向量a=（2cosx，2sinx），b=(cosx，-3cosx)，函数f（x）=a•b，g(x)=f(π6x+π3)+ax（a为常数）．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）若函数g（x）

题目详情

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，
又∵f（x）=
a
•
b
，
∴f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
=2cos(2x+class="stub"π
3
)+1．　　　　　　　　　　　…（4分）
由2x+class="stub"π
3
=kπ(k∈Z)，得x=class="stub"kπ
2
-class="stub"π
6
(k∈Z)，
即函数f（x）的对称轴方程为x=class="stub"kπ
2
-class="stub"π
6
(k∈Z)．…（6分）
（2）由（1）知g(x)=2cos(class="stub"π
3
x+π)+ax+1=-2cosclass="stub"π
3
x+ax+1
∵函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴函数g（x）是偶函数，即a=0．
故g(x)=-2cosclass="stub"π
3
x+1…（8分）
又函数g（x）的周期为6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010．  …（11分）
（3）∵已知对任意实数x1，x2，都有|cosclass="stub"π
3
x1-cosclass="stub"π
3
x2|≤class="stub"π
3
|x1-x2|成立
∴对于任意x1，x2且x1＜x2，由已知得class="stub"π
3
(x1-x2)≤cosclass="stub"π
3
x1-cosclass="stub"π
3
x2≤class="stub"π
3
(x2-x1)．
∴g(x1)-g(x2)=2cosclass="stub"π
3
x1+ax1+1-2cosclass="stub"π
3
x2-ax2-1=2(cosclass="stub"π
3
x1-cosclass="stub"π
3
x2)+a(x1-x2)＜class="stub"2π
3
(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-class="stub"2π
3
)(x1-x2)
∵a＞class="stub"2π
3
，
∴(a-class="stub"2π
3
)(x1-x2)＜0
即当x1＜x2时，恒有g（x1）＜g（x2）．
所以当a＞class="stub"2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（16分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网