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已知函数f（x）=x2-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，g（x）+f（x）=x2（1）求函数g（x）在R上的解析式；（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（3）若h（x）

题目简介

已知函数f（x）=x2-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，g（x）+f（x）=x2（1）求函数g（x）在R上的解析式；（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（3）若h（x）

题目详情

已知函数f（x）=x2-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，g（x）+f（x）=x2
（1）求函数g（x）在R上的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设x∈[0，+∞），则-x∈（-∞，0]
∵当x∈（-∞，0]时，g（x）+f（x）=x2∴当x∈（-∞，0]时，g（x）=2x
∴g（-x）=-2x∵g（x）是R上的奇函数∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴函数g（x）在R上的解析式，g（x）=2x
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x2-4x∴x2-5x+1≤0，x2-3x-1≤0
∴
5-
21
2
≤x≤
5+
21
2
，
3-
13
2
≤x≤
3+
13
2

因此，原不等式的解集为[
3-
13
2
，
5+
21
2
]
（3）h（x）=-λx2+（2λ+2）x+1
①λ=0时，h（x）=2x+1在[-1，1]上是增函数∴λ=0
②当λ≠0，对称轴方程为x=class="stub"λ+1
λ

当λ＜0时，class="stub"λ+1
λ
≤-1，解得-class="stub"1
2
≤λ＜0
当λ＞0时，class="stub"λ+1
λ
≥1，解得λ＞0
综上所述，-class="stub"1
2
≤λ．

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