对于函数f(x)=a-2bx+1（a∈R，b＞0且b≠1）（1）判断函数的单调性并证明；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？并说明理由．-数学

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对于函数f(x)=a-

bx+1

（a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f （x）的定义域是R，
当b＞1时，函数f （x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，函数f （x）在R上是单调递减．
证明：任取R上两x1，x2，且x1＜x2，
f （x1）-f （x2）=a-class="stub"2

bx1+1

-（ a-class="stub"2

bx2+1

）=class="stub"2

bx2+1

-class="stub"2

bx1+1

2(bx1-bx2)

(bx1+1)•(bx2+1)

当b＞1时，∵x1＜x2∴bx1＜bx2∴bx1-bx2＜0
得f （x1）-f （x2）＜0
所以f （x1）＜f （x2）
故此时函数f （x）在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，∵x1＜x2∴bx1＞bx2∴bx1-bx2＞0
得f （x1）-f （x2）＞0
所以f （x1）＞f （x2）
故此时函数f （x）在R上是单调减函数．
（2）f （x）的定义域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
当a=1时，f(-x)=1-class="stub"2

b-x+1

b-x-1

b-x+1

1-bx

1+bx

，f(x)=1-class="stub"2

bx+1

bx-1

bx+1

满足条件f（-x）=-f（x），
故a=1时函数f （x）为奇函数．

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对于函数f(x)=a-2bx+1（a∈R，b＞0且b≠1）（1）判断函数的单调性并证明；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？并说明理由．-数学

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