设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为()A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数-数学

题目简介

设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为()A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数-数学

题目详情

设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为(  )
A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

∵F(x)=f(x)-f(-x),∴F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),∴F(x)必定是奇函数.
又f(x)是定义在R上的任意一个增函数,由复合函数的单调性知f(-x)是定义在R上的任意一个减函数,
故f(x)-f(-x)是一个增函数
故F(x)为增函数且为奇函数
故选A

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