已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=a-
1
|x|

(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-class="stub"1
x

设0<x1<x2,则x1x2>0,x2-x1>0.
f(x1)-f(x2)=(a-class="stub"1
x1
)-(a-class="stub"1
x2
)=class="stub"1
x2
 -class="stub"1
x1
=
x1-x2
x1x2
<0.
∴f(x1)<f(x2),
即f(x)在(0,+∞)上是增函数

(2)由题意a<class="stub"1
x
+2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+class="stub"1
x
,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.
可证h(x)在(1,+∞)上单调递增.
故a≤h(1),即a≤3,
∴a的取值范围为(-∞,3].

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