定义在R上的函数f(x)>0,对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且当x>0时,f(x)>1.(1)求f(0)的值;(2)求证f(x)在R上是增函数;(3)若f(k•3x)f(3x

题目简介

定义在R上的函数f(x)>0,对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且当x>0时,f(x)>1.(1)求f(0)的值;(2)求证f(x)在R上是增函数;(3)若f(k•3x)f(3x

题目详情

定义在R上的函数f(x)>0,对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x) f(y)成立,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)求证f(x)在R上是增函数;
(3)若f(k•3x)f(3x-9x-2)<1对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令x=0,y=1,则f(0+1)=f(0)f(1),
∵当x>0时,f(x)>1,∴f(1)>1,∴f(0)=1;
(2)证明:设x1<x2,则x2-x1>0
∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)
∴f(x)在R上是增函数;
(3)∵f(x)在R上是增函数,f(k•3x) f(3x-9x-2)=f(k 3x+3x-9x-2)<f(0),
∴32x-(1+k)•3x+2>0对任意x∈R成立.
∴1+k<3x+class="stub"2
3x

∵3x>0,∴3x+class="stub"2
3x
2
2

∴k<2
2
-1

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