首页 > 已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t

已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t

题目简介

已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t

题目详情

已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t的最小值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

由f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2
则f（n）=f（n-1+1）
=f（n-1）+f（1）+4n-2
=f（n-1）+4n-1
=f（n-2）+4（n-1）-1+4n-1
=f（1）+4×1+4×2+…+4（n-1）+4n-（n-1）
=1+
4n(n-1)
2
-n+12n2-3n+2
=2n2-3n+2
则f（x）=2x2-3x+2，（x∈N+）
令g（p）=p2-tp则只需g（p）max≤f（x）min，
即可满足p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，
则f（x）的对称轴为x=class="stub"3
4
，x∈[3，+∞）
则f（x）在[3，+∞）上是增函数，∴f（x）min=f（3）=11，
而g（p）的对称轴p=class="stub"t
2
，p∈[2，3]，
若class="stub"t
2
≤class="stub"5
2
，即t≤5，g（p）在p=3处取得最大值，g（p）max=g（3）=9-3t，
可得9-3t≤11解得t≥-class="stub"2
3
，综上-class="stub"2
3
≤t≤5；
若class="stub"t
2
＞class="stub"5
2
，即t＞5，g（p）在p=2处取得最大值，g（p）max=g（2）=4-2t，
可得4-2t≤11，解得t≥-class="stub"7
2
，综上t＞5，
综上可得t≥-class="stub"2
3
；t的最小值为-class="stub"2
3
，
故答案为-class="stub"2
3
；

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