设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数,(a,b,c都是整数),且f(1)=2,f(2)<3,f(x)在[1,+∞)上单调递增.(1)求a,b,c的值;(2)当x<0时,f(x)的单调性如何?证明

题目简介

设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数,(a,b,c都是整数),且f(1)=2,f(2)<3,f(x)在[1,+∞)上单调递增.(1)求a,b,c的值;(2)当x<0时,f(x)的单调性如何?证明

题目详情

设函数f(x)=
ax2+1
bx+c
是奇函数,(a,b,c都是整数),且f(1)=2,f(2)<3,f(x)在[1,+∞)上单调递增.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x<0时,f(x)的单调性如何?证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)为奇函数,
故f(x)的定义域关于原点对称
又f(x)的定义域为{x|x≠-class="stub"c
b
}
(显然b≠0,否则f(x)为偶函数)
-class="stub"c
b
=0
,即c=0
于是得f(x)=class="stub"a
b
x+class="stub"1
bx
,且class="stub"a+1
b
=2
class="stub"4a+1
2b
<3

class="stub"8b-3
2b
<3

0<b<class="stub"3
2
又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1,c=0,符合f(x)在[1,+∞)上单调递增

(2)由(1)知f(x)=x+class="stub"1
x

f(x1)-f(x2)=x1+class="stub"1
x1
-x2-class="stub"1
x2
=(x1-x2)(1-class="stub"1
x1x2
)=
x1-x2
x1x2
(x1x2-1)

①当-1<x1<x2<0时,显然x1-x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)为减函数
②当x1<x2<-1时,显然x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)为增函数
综上所述,f(x)在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,0)上是减函数.

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