设z是虚数,满足ω=z+1z是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z.求证:u是纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.-数学

题目简介

设z是虚数,满足ω=z+1z是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z.求证:u是纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.-数学

题目详情

设z是虚数,满足ω=z+
1
z
是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=
1-z
1+z
.求证:u是纯虚数;
(3)求ω-u2的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由z是虚数,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)则ω=z+class="stub"1
z
=a+bi+class="stub"1
a+bi
=a+bi+class="stub"a-bi
a2+b2
=a+class="stub"a
a2+b2
+(b-class="stub"b
a2+b2
)i

∵ω∈R∴b-class="stub"b
a2+b2
=0
且b≠0得a2+b2=1即|z|=1
此时,ω=2a,∵-1<ω<2∴-class="stub"1
2
<a<1
即z的实部的取值范围为(-class="stub"1
2
,1)
.…(4分)
(2)u=class="stub"1-z
1+z
=
1-(a+bi)
1+(a+bi)
=
[(1-a)-bi][(1+a)-bi]
(1+a)2+b2

∵a2+b2=1
∴u=-class="stub"b
1+a
i
b≠0,-class="stub"1
2
<a<1
故u是纯虚数.…(8分)
(3)ω-u2=2a+
b2
(1+a)2
=2a+
1-a2
(1+a)2
=2a+class="stub"1-a
1+a
=2[(a+1)+class="stub"1
a+1
]-3

a∈(-class="stub"1
2
,1)
(a+1)+class="stub"1
a+1
≥2

故当且仅当a+1=class="stub"1
a+1
,a=0
时ω-u2的最小值为1.…(14分).

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