首页 > 已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令x1=

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令x1=

题目简介

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令x1=

题目详情

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(
1
2
)=1，且对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)．
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x2n
，求数列{f（xn）}的通项公式．
（Ⅲ）设Tn为{
2n-1
f(xn)
}的前n项和，若Tn＜
6-3m
2
对n∈N*恒成立，求m的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(class="stub"x-y
1-xy
)…①
∴令x=y=0得f（0）=0；（1分）
令x=0由①得f（-y）=-f（y），
用x替换上式中的y有f（-x）=-f（x）（2分）
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（Ⅱ）{f（xn）}满足x1=class="stub"1
2
＜1，则必有xn+1=
2xn
1+
x2n
＜
2xn
2xn
=1
否则若xn+1=1则必有xn=1，依此类推必有x1=1，矛盾
∴0＜xn＜1（5分）
∴f(xn+1)=f(
2xn
1+
x2n
)=f(
xn-(-xn)
1-xn•(-xn)
)=f（xn）-f（-xn）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴
f(xn+1)
f(xn)
=2，
又f(x1)=f(class="stub"1
2
)=1
∴{f（xn）}是1为首项，2为公比的等比数列，（7分）
∴f(xn)=2n-1（8分）
（Ⅲ）class="stub"2n-1
f(xn)
=class="stub"2n-1
2n-1
=2×class="stub"2n-1
2n
（9分）
故Tn=2(class="stub"1
2
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-1
2n
)…②
class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
22
+class="stub"3
23
+class="stub"5
24
+…+class="stub"2n-3
2n
+class="stub"2n-1
2n+1
)…③
②-③得class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"2n-1
2n+1
)=3-class="stub"2n+3
2n
（11分）
∴Tn=6-class="stub"2n+3
2n-1
＜6（12分）
∴若Tn＜class="stub"6-3m
2
对n∈N*恒成立，则须class="stub"6-3m
2
≥6，解得m≤2（13分）
∴m的最大值为2．　　　　　　　（14分）

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