首页 > 已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+π3)图象所有的对称中心都在y=f（x）

已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+π3)图象所有的对称中心都在y=f（x）

题目简介

已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+π3)图象所有的对称中心都在y=f（x）

题目详情

已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+
π
3
)图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
，
π
2
])，求cos(x0-
π
3
)的值；
（3）设
a
=(f(x-
π
6
)，1)，
b
=(1，mcosx)，x∈(0，
π
2
)，若
a
•
b
+3≥0恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）依题意可知：A=2，T=π，y=sin(2x+class="stub"π
3
)与f（x）相差class="stub"T
4
+kT，k∈Z，即相差class="stub"π
4
+kπ，k∈Z，
所以f(x)=Asin[2(x+class="stub"π
4
+kπ)+class="stub"π
3
]=Acos(2x+class="stub"π
3
)
或f(x)=Asin[2(x-class="stub"π
4
+kπ)+class="stub"π
3
]=Acos(2x+class="stub"4π
3
)（舍），
故f(x)=2cos(2x+class="stub"π
3
)．
（2）因为f(
x0
2
)=class="stub"3
2
(x0∈[-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
])，即cos(x0+class="stub"π
3
)=class="stub"3
4
，
因为x0+class="stub"π
3
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]，又cos(-class="stub"π
6
)=
3
2
＞class="stub"3
4
，y=cosx在[-class="stub"π
6
，0]单调递增，
所以x0+class="stub"π
3
∈[0，class="stub"π
2
]，
所以sin(x0+class="stub"π
3
)=
1-(class="stub"3
4
)2
=
7
4
，于是
cos(x0-class="stub"π
3
)=cos(x0+class="stub"π
3
-class="stub"2π
3
)=cos(x0+class="stub"π
3
)cosclass="stub"2π
3
+sin(x0+class="stub"π
3
)sinclass="stub"2π
3
=-class="stub"3
4
•class="stub"1
2
+
7
4
•
3
2
=
21
-3
8

（3）因为
a
=(f(x-class="stub"π
6
)，1)，
b
=(1，mcosx)，x∈(0，class="stub"π
2
)
a
•
b
+3=f(x-class="stub"π
6
)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1，
于是4cos2x+mcosx+1≥0，得m≥-4cosx-class="stub"1
cosx
对于x∈(0，class="stub"π
2
)恒成立，
因为(-4cosx-class="stub"1
cosx
)max=-4，
故m≥-4．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网