首页 > 定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说

题目简介

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说

题目详情

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）若______，试求f(
1
2
)-f(
1
11
)-f(
1
19
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）令x=y=0⇒f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（Ⅱ）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1-x1x2
)，
而x1-x2＜0，0＜x1x2＜1⇒
x1-x2
1-x1x2
＜0．
∴f(
x1-x2
1-x1x2
)＞0．即　当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，1 ）上单调递减．
（Ⅲ）由于f(class="stub"1
2
)-f(class="stub"1
5
)=f(class="stub"1
2
)+f(-class="stub"1
5
)=f(
class="stub"1
2
-class="stub"1
5
1-class="stub"1
2×5
)=f(class="stub"1
3
)，
f(class="stub"1
3
)-f(class="stub"1
11
)=f(class="stub"1
4
)，f(class="stub"1
4
)-f(class="stub"1
19
)=f(class="stub"1
5
)，
∴f(class="stub"1
2
) -f(class="stub"1
11
) -f(class="stub"1
19
) =2f(class="stub"1
5
) =-1．

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