已知f(x)=ax+bx+2-2a(a>0)在图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.(1)求a,b满足的关系式;(2)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(3

题目简介

已知f(x)=ax+bx+2-2a(a>0)在图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.(1)求a,b满足的关系式;(2)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(3

题目详情

已知f(x)=ax+
b
x
+2-2a(a>0)在图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.
(1)求a,b满足的关系式;
(2)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)若a=1,数列{an}满足a1=2,an+1=f(an)+2-an(n∈N*),求证:a1•a2•a3…an=n+1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)求导函数可得f′(x)=a-class="stub"b
x2
,根据题意f′(1)=a-b=2,即b=a-2;
(2)由(1)知,f(x)=ax+class="stub"a-2
x
+2-2a,
令g(x)=f(x)-2lnx=ax+class="stub"a-2
x
+2-2a-2lnx,x∈[1,+∞)
则g(1)=0,g′(x)=
a(x-1)(x-class="stub"2-a
a
)
x2

①当0<a<1时,class="stub"2-a
a
>1
,若1<x<class="stub"2-a
a
,则g′(x)<0,g(x)在[1,+∞)减函数,所以g(x)<g(1)=0,即f(x)<2lnx在[1,+∞)上恒成立;
②a≥1时,class="stub"2-a
a
≤1
,当x>1时,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)增函数,又g(1)=0,所以f(x)≥2lnx.
综上所述,所求的取值范围是[1,+∞);
(3)证明:取a=1得f(x)=x-class="stub"1
x
,所以an+1=f(an)+2-an=2-class="stub"1
an

∴an+1-1=
an-1
an
,∴class="stub"1
an+1-1
=class="stub"1
an-1
+1
∴{class="stub"1
an-1
}是等差数列,首项为class="stub"1
a1-1
=1
,公差为1,
class="stub"1
an-1
=n,∴an=class="stub"n+1
n

∴a1•a2•…an=class="stub"2
1
class="stub"3
2
•…•class="stub"n+1
n
=n+1.

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