已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=2x4x+1.(1)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明;(2)求f(x)在[-1,

题目简介

已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=2x4x+1.(1)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明;(2)求f(x)在[-1,

题目详情

已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x都有f(x+2)=f(x)成立,且当x∈(0,1)时f(x)=
2x
4x+1

(1)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明;
(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)当关于x的方程f(x)-1=2λ在[-1,1]上有实数解时,求实数λ的取值范围,
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)在(0,1)上是减函数,证明如下
当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

设0<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=
2x 1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
(2x2-2x1)(2x1+x2-1)  
4x1+1)(4x2+1)  

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2 x1+x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,1)上单调递减
(2)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1

由f(0)=f(-0)=-f(0),且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间[-1,1]上,有f(x)=
2x
4x+1
     x∈(0,1)
-
2 x
4 x+1
    x∈(-1,0)
0                 x∈{-1,0,1}

(3)f(x)-1=2λ在[-1,1]上有实数解,转化为λ=class="stub"1
2
f(x)-class="stub"1
2
由函数的单调性求出函数在[-1,1]的值域
即得,f(x)的值域为(-class="stub"1
2
,-class="stub"2
5
)∪(class="stub"2
5
,class="stub"1
2
)∪{0}
λ∈(-class="stub"3
4
,-class="stub"7
10
)∪(-class="stub"3
10
,-class="stub"1
4
)∪{-class="stub"1
2
}

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