首页 > 已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1，（n∈N•）

已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1，（n∈N•）

题目简介

已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1，（n∈N•）

题目详情

已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=
b1
2+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-
b4
24+1
+…+(-1)n-1
bn
2n+1
，（n∈N•），
（1）求数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式；
（2）设Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在实数λ，当n∈N+时，Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）取p=n，q=1，则an+1=an+a1=an+2
∴an+1-an=2（n∈N*）
∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列
∴an=2n
∵an=
b1
2+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-
b4
24+1
+…+(-1)n-1
bn
2n+1
（n≥1）①
∴an-1=
b1
2+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-
b4
24+1
+…+(-1)n-2
bn-1
2n-1+1
（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1
bn
2n+1
=2（n≥2）bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n≥2）
当n=1时，a1=
b1
3
∴b1=6满足上式
∴bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n∈N*）
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ
假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n
当n为正偶函数时，（3•2n+1+4）λ＞-2•3n恒成立λ＞（-
3n
3•2n+2
）max=（-class="stub"1
3•(class="stub"2
3
)n+2•(class="stub"1
3
)n
）max
当n=2时（-class="stub"1
3•(class="stub"2
3
)n+2•(class="stub"1
3
)n
）max=-class="stub"9
14

∴λ＞-class="stub"9
14

当n为正奇数时，-（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n恒成立
∴λ＜（
3n
3•2n+2
）min=（class="stub"1
3•(class="stub"2
3
)n+2•(class="stub"1
3
)n
）min
当n=1时[class="stub"1
3•(class="stub"2
3
)n+2•(class="stub"1
3
)n
]min=class="stub"3
8

∴λ＜class="stub"3
8

综上，存在实数λ，且λ∈（-class="stub"9
14
，class="stub"3
8
）（16分）

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