已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn(1-an)(1+an).(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;(Ⅱ)设cn=1bn-1,求数列{cn}的通项公式;(Ⅲ)设Sn=a

题目简介

已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn(1-an)(1+an).(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;(Ⅱ)设cn=1bn-1,求数列{cn}的通项公式;(Ⅲ)设Sn=a

题目详情

已知数列{an}、{bn}满足:a1=
1
4
an+bn=1,bn+1=
bn
(1-an)(1+an)

(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4
(Ⅱ)设cn=
1
bn-1
,求数列{cn}的通项公式;
(Ⅲ)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式4aSn<bn恒成立时,求实数的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(本题14分)
(Ⅰ) SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1)
∵[lg(Sn-m)+lg(Sn+2-m)]=2lg(Sn+1-m),
b2=class="stub"4
5
b3=class="stub"5
6
b4=class="stub"6
7
.…(4分)
(Ⅱ)∵bn+1-1=class="stub"1
2-bn
-1

class="stub"1
bn+1-1
=
2-bn
bn-1
=-1+class="stub"1
bn-1
,…(5分)
∴数列{cn}是以-4为首项,-1为公差的等差数列.
∴cn=-4+(n-1)•(-1)=-n-3.…(7分)
(Ⅲ)由于cn=class="stub"1
bn-1
=-n-3

所以bn=class="stub"n+2
n+3

从而an=1-bn=class="stub"1
n+3
..…(8分)
Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=class="stub"1
4×5
+class="stub"1
5×6
+…class="stub"1
(n+3)(n+4)
=class="stub"1
4
-class="stub"1
n+4
=class="stub"n
4(n+4)

4aSn-bn=class="stub"an
n+4
-class="stub"n+2
n+3
=
(a-1)n2+(3a-6)n-8
(n+3)(n+4)
…(10分)
由条件知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立即可满足条件,
设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8,
当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立
当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立,
当a<1时,对称轴 n=-class="stub"3
2
•class="stub"a-2
a-1
=-class="stub"3
2
(1-class="stub"1
a-1
)<0

f(n)在(1,+∞)为单调递减函数.
f(1)=(a-1)n2+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0,
a<class="stub"15
4

∴a<1时4aSn<bn恒成立
综上知:a≤1时,4aSn<bn恒成立…(14分)

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