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> 已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn(1-an)(1+an).(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;(Ⅱ)设cn=1bn-1,求数列{cn}的通项公式;(Ⅲ)设Sn=a
已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn(1-an)(1+an).(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;(Ⅱ)设cn=1bn-1,求数列{cn}的通项公式;(Ⅲ)设Sn=a
题目简介
已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn(1-an)(1+an).(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;(Ⅱ)设cn=1bn-1,求数列{cn}的通项公式;(Ⅲ)设Sn=a
题目详情
已知数列{a
n
}、{b
n
}满足:
a
1
=
1
4
,
a
n
+
b
n
=1,
b
n+1
=
b
n
(1-
a
n
)(1+
a
n
)
.
(Ⅰ)求b
1
,b
2
,b
3
,b
4
;
(Ⅱ)设
c
n
=
1
b
n
-1
,求数列{c
n
}的通项公式;
(Ⅲ)设S
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
4
+…+a
n
a
n+1
,不等式4aS
n
<b
n
恒成立时,求实数的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(本题14分)
(Ⅰ)
S
n
S
n+2
-
S
2
n+1
=m(
S
n
+
S
n+2
-2
S
n+1
)
,
∵[lg(Sn-m)+lg(Sn+2-m)]=2lg(Sn+1-m),
∴
b
2
=
class="stub"4
5
,
b
3
=
class="stub"5
6
,
b
4
=
class="stub"6
7
.…(4分)
(Ⅱ)∵
b
n+1
-1=
class="stub"1
2-
b
n
-1
,
∴
class="stub"1
b
n+1
-1
=
2-
b
n
b
n
-1
=-1+
class="stub"1
b
n
-1
,…(5分)
∴数列{cn}是以-4为首项,-1为公差的等差数列.
∴cn=-4+(n-1)•(-1)=-n-3.…(7分)
(Ⅲ)由于
c
n
=
class="stub"1
b
n
-1
=-n-3
,
所以
b
n
=
class="stub"n+2
n+3
,
从而
a
n
=1-
b
n
=
class="stub"1
n+3
..…(8分)
∴
S
n
=
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+…+
a
n
a
n+1
=
class="stub"1
4×5
+
class="stub"1
5×6
+…
class="stub"1
(n+3)(n+4)
=
class="stub"1
4
-
class="stub"1
n+4
=
class="stub"n
4(n+4)
∴
4a
S
n
-
b
n
=
class="stub"an
n+4
-
class="stub"n+2
n+3
=
(a-1)
n
2
+(3a-6)n-8
(n+3)(n+4)
…(10分)
由条件知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立即可满足条件,
设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8,
当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立
当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立,
当a<1时,对称轴
n=-
class="stub"3
2
•
class="stub"a-2
a-1
=-
class="stub"3
2
(1-
class="stub"1
a-1
)<0
,
f(n)在(1,+∞)为单调递减函数.
f(1)=(a-1)n2+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0,
∴
a<
class="stub"15
4
,
∴a<1时4aSn<bn恒成立
综上知:a≤1时,4aSn<bn恒成立…(14分)
上一篇 :
已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3.(1)当a=4
下一篇 :
设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-xlg(1+x
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题目简介
已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn(1-an)(1+an).(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;(Ⅱ)设cn=1bn-1,求数列{cn}的通项公式;(Ⅲ)设Sn=a
题目详情
(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;
(Ⅱ)设cn=
(Ⅲ)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式4aSn<bn恒成立时,求实数的取值范围.
答案
(Ⅰ) SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1),
∵[lg(Sn-m)+lg(Sn+2-m)]=2lg(Sn+1-m),
∴b2=
(Ⅱ)∵bn+1-1=
∴
∴数列{cn}是以-4为首项,-1为公差的等差数列.
∴cn=-4+(n-1)•(-1)=-n-3.…(7分)
(Ⅲ)由于cn=
所以bn=
从而an=1-bn=
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=
∴4aSn-bn=
由条件知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立即可满足条件,
设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8,
当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立
当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立,
当a<1时,对称轴 n=-
f(n)在(1,+∞)为单调递减函数.
f(1)=(a-1)n2+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0,
∴a<
∴a<1时4aSn<bn恒成立
综上知:a≤1时,4aSn<bn恒成立…(14分)