首页 > 已知函数f(x)=2x-a2x（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h

已知函数f(x)=2x-a2x（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h

题目简介

已知函数f(x)=2x-a2x（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h

题目详情

已知函数f(x)=2x-
a
2x
（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．
（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-class="stub"a
2x-2
．
设y=h（x）的图象上一点P（x，y），点P（x，y）关于y=1的对称点为Q（x，2-y），
由点Q在y=g（x）的图象上，所以2x-2-class="stub"a
2x-2
=2-y，
于是y=2-2x-2+class="stub"a
2x-2
，即h(x)=2-2x-2+class="stub"a
2x-2
．
（Ⅱ）设t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由2x-class="stub"a
2x
=a得t-class="stub"a
t
=a，即t2-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根．
设k（t）=t2-at-a，对称轴t=class="stub"a
2
．
若k（1）=0，则a=class="stub"1
2
，两根为t1=1，t2=-class="stub"1
2
．适合题意；
若k（2）=0，则a=class="stub"4
3
，两根为t1=2，t2=-class="stub"2
3
．适合题意．
若在（1，2）内有且仅有一个实根，则k（1）•k（2）＜0①或    
△=0
1≤class="stub"a
2
≤2
②
由①得 (1-2a)(4-3a)＜0⇔class="stub"1
2
＜a＜class="stub"4
3
；
由②得 
a2+4a=0
2≤a≤4
无解．
综上可得a∈[class="stub"1
2
，class="stub"4
3
]．
（Ⅲ）F(x)=f(x)+h(x)=class="stub"3
4
•2x+class="stub"3a
2x
+2．
由F（x）＞2+3a，化简得class="stub"1
4
•2x+class="stub"a
2x
＞a，设t=2x，t∈（2，+∞）．
即t2-4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立．
注意到t-1＞1，分离参数得a＜
t2
4(t-1)
对任意t∈（2，+∞）恒成立．
设m(t)=
t2
t-1
，t∈（2，+∞），即a＜class="stub"1
4
m(t)min，
而m(t)=
t2
t-1
=(t-1)+class="stub"1
t-1
+2．
可证m（t）在（2，+∞）上单调递增．
∴m（t）＞m（2）=4，
∴a≤class="stub"1
4
•4=1，即a∈（-∞，1]．

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