已知f（x）=x2-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-ax在（0，1）上是减函数．（1）求a的值；（2）设函数φ(x)=2bx-1x2在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变

题目简介

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a

在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-

在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2

，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）f′(x)=2x-class="stub"a

，依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x2）min⇒a≤2.g′(x)=1-class="stub"a

，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…（5分）
（2）f′(x)=2x-class="stub"2

2(x+1)(x-1)

，所以f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-class="stub"1

在（0，1]上是增函数，即φ′(x)=2b+class="stub"2

≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，
由已知得1≥2b-1⇒b≤1，所以b的取值范围是[-1，1]．…（5分）
（3）h(x)=f′(x)-g(x)-2

+class="stub"3

=…=x+class="stub"1

，
n=1时不等式左右相等，得证；
n≥2时，[h(x)]n-h(xn)=(x+class="stub"1

)n-(xn+class="stub"1

xn-2+

xn-4+…+

n-1n

x2-n=class="stub"1

[

(xn-2+x2-n)+

(xn-4+x4-n)+…+

n-1n

(x2-n+xn-2)]≥

+…+

n-1n

=2n-2，
所以[h（x）]n+2≥h（xn）+2n（n∈N*）成立．…（5分）