已知函数f(x)=x2-x+alnx(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2-x+alnx(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x2-x+alnx
(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:杭州一模

答案

(1)由f(x)≤x2恒成立,得:alnx≤x在x≥1时恒成立
当x=1时a∈R(2分)
当x>1时即a≤class="stub"x
lnx
,令g(x)=class="stub"x
lnx
g′(x)=class="stub"lnx-1
ln2x
 
(4分)
x≥e时g'(x)≥0,g(x)在x>e时为增函数,g(x)在x<e时为减函数
∴gmin(x)=e∴a≤e(6分)
(2)f(x)=x2-x+alnx,f′(x)=2x-1+class="stub"a
x
=
2x2-x+a
x
,x>0
(1)当△=1-8a≤0,a≥class="stub"1
8
时,f′(x)≥0恒成立,
f(x)在(0,+∞)上为增函数.(8分)
(2)当a<class="stub"1
8

①当0<a<class="stub"1
8
时,
1+
1-8a
4
1-
1-8a
4
>0

f(x)在[
1-
1-8a
4
1+
1-8a
4
]
上为减函数,
f(x)在(0,
1-
1-8a
4
],[
1+
1-8a
4
,+∞)
上为增函数.(11分)
②当a=0时,f(x)在(0,1]上为减函数,f(x)在[1,+∞)上为增函数(12分)
③当a<0时,
1-
1-8a
4
<0
,故f(x)在(0,
1+
1-8a
4
]上为减函数,
f(x)在[
1+
1-8a
4
,+∞)上为增函数.(14分)

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