首页 > 已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围为______．-数学

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围为______．-数学

题目简介

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围为______．-数学

题目详情

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[
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，1]上恒成立，则实数a的取值范围为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[class="stub"1
2
，1]上恒成立⇔f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在x∈[class="stub"1
2
，1]上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x-2|在x∈[class="stub"1
2
，1]上恒成立⇒（a2-1）x2+2（a+2）x-3≤0  ②在x∈[class="stub"1
2
，1]上恒成立．
a=1时，②转化为2x-1≤0⇒x≤class="stub"1
2
不符合，舍去；
a=-1时，②转化为2x-3≤0⇒x≤class="stub"3
2
成立；
|a|＞1时，得a2-1＞0，②转化为
(a2-1)×(class="stub"1
2
)2 +2(a+2)×class="stub"1
2
-3≤0
(a2-1)×1+2(a+2)-3≤0
，
-5≤a≤1
-2≤a≤0
⇒-2≤a≤0且a≠-1．
∵|a|≥1
综上得：实数a的取值范围为[-2，-1]．
故答案为[-2，-1]．

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