已知函数f(x)=ax3+bx+c为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线9x+y-2=0平行,导函数f'(x)的最小值为-12.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的极

题目简介

已知函数f(x)=ax3+bx+c为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线9x+y-2=0平行,导函数f'(x)的最小值为-12.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)的极

题目详情

已知函数f(x)=ax3+bx+c为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线9x+y-2=0平行,导函数f'(x)的最小值为-12.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵函数f(x)=ax3+bx+c为奇函数,∴c=0且f'(x)=3ax2+b
∵f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线9x+y-2=0平行,
∴f′(1)=-9,即3a+b=-9 …①
又∵导函数f'(x)的最小值为-12∴a>0且b=-12 …②
由①②解出  a=1,b=-12,∴f(x)=x3-12x                 …(6分)
(Ⅱ)∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
∴令f′(x)=0,得x=-2或x=2.列表如下:
x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
∴f(x)的极大值为f(-2)=16;
极小值为f(2)=-16…(12分)

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