已知函数f(x)=-2x+b2x+1+a的定义域为R,且f(x)是奇函数,其中a与b是常数.(1)求a与b的值;(2)若x∈[-1,1],对于任意的t∈R,不等式f(x)<2t2-λt+1恒成立,求实

题目简介

已知函数f(x)=-2x+b2x+1+a的定义域为R,且f(x)是奇函数,其中a与b是常数.(1)求a与b的值;(2)若x∈[-1,1],对于任意的t∈R,不等式f(x)<2t2-λt+1恒成立,求实

题目详情

已知函数f(x)=
-2x+b
2x+1+a
的定义域为R,且f(x)是奇函数,其中a与b是常数.
(1)求a与b的值;
(2)若x∈[-1,1],对于任意的t∈R,不等式f(x)<2t2-λt+1恒成立,求实数λ的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴
f(0)=0
f(-1)=-f(1)

class="stub"-1+b
2+a
=0
-class="stub"1
2
+b
1+a
=-class="stub"-2+b
4+a
,解得
a=2
b=1
,此时f(x)=
-2x+1
2x+1+2
,经检验可得f(-x)=-f(x),
故a=2,b=1.
(2)f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=
-2x+1
2(2x+1)
=
-(2x+1)+2
2(2x+1)

=-class="stub"1
2
+class="stub"1
2x+1
,可知f(x)在R上是减函数,又x∈[-1,1],∴f(x)的最大值为f(-1)=class="stub"1
6

∵对于任意的t∈R,不等式f(x)<2t2-λt+1恒成立,
∴2t2-λt+1>class="stub"1
6
,即2t2-λt+class="stub"5
6
>0,则有△<0,即λ2-4×2×class="stub"5
6
<0
,解得-
2
15
3
<λ<
2
15
3

所以实数λ的取值范围是{λ|-
2
15
3
<λ<
2
15
3
}.

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