首页 > 定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+32)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为______．

定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+32)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为______．

题目简介

定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+32)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为______．

题目详情

定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-
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，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+
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)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为 ______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

由f（x+class="stub"3
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）=-f（x），得f（x+3）=f[（x+class="stub"3
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）+class="stub"3
2
]=-f（x+class="stub"3
2
）=f（x），则有周期T=3．
又∵f（x）的图象关于点(-class="stub"3
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，0)成中心对称，即f（-class="stub"3
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+x）=-f（-class="stub"3
4
-x），
令x=class="stub"1
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代入上式，得f（-class="stub"1
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）=-f（-1），即f（1）=f（-class="stub"1
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+class="stub"3
2
）=-f（-class="stub"1
2
）=f（-1）=1，
∵f（-1）=1，f（0）=-2，函数的周期是3，
∴f（1+3k）=f（-2）=1，f（2+3k）=f（-1）=1，f（3+3k）=f（0）=-2，其中k是任意整数．
则f（1）+f（2）+…+f（2009）=class="stub"2007
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[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=669×（1+1-2）+f（1）+f（2）=2．
故答案为：2．

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