已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围

题目简介

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围

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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)
∴x=1和x=3是方程ax2+(b+2)x+c=0(a<0)的两根
class="stub"b+2
a
=-4
class="stub"c
a
=3

∴b=-4a-2,c=3a
又方程f(x)+6a=0有两个相等的实根
∴△=b2-4a(c+6a)=0
∴4(2a+1)2-4a×9a=0
∴(5a+1)(1-a)=0
a=-class="stub"1
5
或a=1(舍)
a=-class="stub"1
5
,b=-class="stub"6
5
,c=-class="stub"3
5

f(x)=-class="stub"1
5
x2-class="stub"6
5
x-class="stub"3
5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=ax2-2(2a+1)x+3a=a(x-class="stub"2a+1
a
)-
(2a+1)2
a
+3a
=
-a2-4a-1
a

∵a<0,
∴f(x)的最大值为
-a2-4a-1
a

∵f(x)的最大值为正数
a<0
-a2-4a-1
a
>0

a<0
a2+4a+1>0
解得a<-2-
3
-2+
3
<a<0

∴所求实a的取值范围是(-∞,-2-
3
)∪(-2+
3
,0)

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