已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,(1)求f(x)的表达式;(2)若f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围;-数学

题目简介

已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,(1)求f(x)的表达式;(2)若f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围;-数学

题目详情

已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围;
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设f(x)=ax2+bx+c∵f(0)=0∴c=0
∴f(x)=ax2+bxf(x)+x+1=ax2+(b+1)x+1f(x+1)
=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b∵f(x+1)
=f(x)+x+1∴ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1
2a+b=b+1
a+b=1
a=class="stub"1
2
b=class="stub"1
2
f(x)=class="stub"1
2
x2+class="stub"1
2
x

(2)f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立
class="stub"1
2
x2+class="stub"1
2
x>a在x∈[-1,1]恒成立
a<class="stub"1
2
(x+class="stub"1
2
)2+(-class="stub"1
8
)
在x∈[-1,1]恒成立.
[class="stub"1
2
(x+class="stub"1
2
)2-class="stub"1
8
]min=-class="stub"1
8
(-1≤x≤1)

a<-class="stub"1
8

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