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（文科做）已知等差数列{an}{和正项等比数列{bn}，a1=b1=1，a3=b3=2．（1）求an，bn；（2）设cn=an•bn2，求数列{cn}的前n项和Sn；（3）设{an}的前n项和为Tn，

题目简介

（文科做）已知等差数列{an}{和正项等比数列{bn}，a1=b1=1，a3=b3=2．（1）求an，bn；（2）设cn=an•bn2，求数列{cn}的前n项和Sn；（3）设{an}的前n项和为Tn，

题目详情

（文科做）已知等差数列{an}{和正项等比数列{bn}，a1=b1=1，a3=b3=2．
（1）求an，bn；
（2）设cn=an•bn2，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）设{an}的前n项和为Tn，是否存在常数P、c，使an=p+log2（Tn+c）恒成立？若存在，求P、c的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由a3=a1+2d，得d=class="stub"1
2
-------（1分）
由b3=b1q2且q＞0得q=
2
----（2分）
所以an=a1+（n-1）d=class="stub"n+1
2
，bn=b1qn-1=2class="stub"n-1
2
-------（4分）
（2）因为cn=（n+1）2n-2--------------------------（5分）
故Sn=2•2-1+3•20+4•21+…+(n+1)•2n-2-----------------①
2Sn=2•20+3•21+4•22+…+n•2n-2+(n+1)•2n-1---------------------------②
所以①-②得：-Sn=1+1+2+22+…+2n-1-(n+1)•2n-1--------------------------（7分）
所以Sn=n•2n-1--------------------------（9分）
（3）Tn=
b1(1-qn)
1-q
=(
2
+1)(2class="stub"n
2
-1)-------（10分），
an=p+log2（Tn+c）恒成立，
则当n=1，n=3时，有
1=plog2(1+c)
2=p+log2(1+
2
+2+c)
-----（12分），
解得c=
2
+1，p=log2(2-
2
)-------（13分）
p+log2（Tn+c）=log2（2-
2
）+log2[(
2
+1)(2class="stub"n
2
-1)+(
2
+1)]=log2(
2
×2class="stub"n
2
)=class="stub"n+1
2
------（15分）
所以，当c=
2
+1，p=log2(2-
2
)时，an=p+log2（Tn+c）恒成立-------（16分）

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