首页 > 已知向量a=(3sin3x，-y)，b=(m，cos3x-m)（m∈R），且a+b=0．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[π18，2π9]上图象最低点M的坐标．（2）若对任

已知向量a=(3sin3x，-y)，b=(m，cos3x-m)（m∈R），且a+b=0．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[π18，2π9]上图象最低点M的坐标．（2）若对任

题目简介

已知向量a=(3sin3x，-y)，b=(m，cos3x-m)（m∈R），且a+b=0．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[π18，2π9]上图象最低点M的坐标．（2）若对任

题目详情

已知向量
a
=(
3
sin3x ，- y) ， 
b
=(m ， cos3x-m)（m∈R），且
a
+
b
=
0
．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[
π
18
 ， 
2π
9
]上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意x∈[0 ， 
π
9
]，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．
题型：解答题难度：中档来源：浦东新区二模

答案

（1）∵
a
+
.
b
=
.
0
，即
3
sin3x+m=0
-y+cos3x-m=0
，
消去m，得y=
3
sin3x+cos3x，
即f(x)=
3
sin3x+cos3x=2sin(3x+class="stub"π
6
)，
x∈[class="stub"π
18
 ， class="stub"2π
9
]时，3x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
3
 ， class="stub"5π
6
]，sin(3x+class="stub"π
6
)∈[class="stub"1
2
 ，1]，
即f（x）的最小值为1，此时x=class="stub"2π
9

∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是(class="stub"2π
9
， 1)
（2）∵f（x）＞t-9x+1，即2sin(3x+class="stub"π
6
)+9x＞t+1，
当x∈[0 ， class="stub"π
9
]时，函数f(x)=2sin(3x+class="stub"π
6
)单调递增，y=9x单调递增，
∴y=2sin(3x+class="stub"π
6
)+9x在[0 ， class="stub"π
9
]上单调递增，
∴y=2sin(3x+class="stub"π
6
)+9x的最小值为1，
为要2sin(3x+class="stub"π
6
)+9x＞t+1恒成立，只要t+1＜1，
∴t＜0为所求．

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