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> 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N+),设Tn=c1c
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N+),设Tn=c1c
题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N+),设Tn=c1c
题目详情
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=1,S
n+1
=4a
n
+1,设b
n
=a
n+1
-2a
n
.
(Ⅰ)证明数列{b
n
}是等比数列;
(Ⅱ)数列{c
n
}满足c
n
=
1
log
2
b
n
+3
(n∈N
+
),设T
n
=c
1
c
2
+c
2
c
3
+c
3
c
4
+…+c
n
c
n+1
,若对一切n∈N
+
不等式4mT
n
>(n+2)c
n
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:东城区二模
答案
证明:(Ⅰ)由于Sn+1=4an+1,①
当n≥2时,Sn=4an-1+1.②
①-②得an+1=4an-4an-1.
所an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1.
因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,
所以a2=3a1+1=4.
所以b1=a2-2a1=2.
故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=2n,则cn=
class="stub"1
log
2
b
n
+3
=
class="stub"1
n+3
∴Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=
class="stub"1
4×5
+
class="stub"1
5×6
+
class="stub"1
6×7
+…+
class="stub"1
(n+3)(n+4)
=
class="stub"1
4
-
class="stub"1
n+4
=
class="stub"n
4(n+4)
.
由4mTn>(n+2),得
class="stub"mn
n+4
>
class="stub"n+2
n+3
.
即m>
(n+4)(n+2)
n(n+3)
.
所以m>
n
2
+6n+8
n
2
+3n
.
所以m>1+
class="stub"3n+8
n
2
+3n
=1+
class="stub"3
n+3
+
class="stub"8
n
2
+3n
.
设f(x)=1+
class="stub"3
x+3
+
class="stub"8
x
2
+3x
,x≥1.
可知f(x)在[1,+∞)为减函数,又f(1)=
class="stub"15
4
,
则当n∈N时,有f(n)≤f(1).
所以∴m>
class="stub"15
4
.
故当m>
class="stub"15
4
.时,4mTn>(n+2)cn恒成立.
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函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,
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已知函数f(x)=2-xx+1;(1)判断函数f(x
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题目简介
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N+),设Tn=c1c
题目详情
(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)数列{cn}满足cn=
答案
当n≥2时,Sn=4an-1+1.②
①-②得an+1=4an-4an-1.
所an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1.
因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,
所以a2=3a1+1=4.
所以b1=a2-2a1=2.
故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=2n,则cn=
∴Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=
=
=
由4mTn>(n+2),得
即m>
所以m>
所以m>1+
设f(x)=1+
可知f(x)在[1,+∞)为减函数,又f(1)=
则当n∈N时,有f(n)≤f(1).
所以∴m>
故当m>