已知函数f(x)=ex-x(1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1(2)证明:1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n∈N*).-数学

题目简介

已知函数f(x)=ex-x(1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1(2)证明:1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n∈N*).-数学

题目详情

已知函数f(x)=ex-x
(1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1
(2)证明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)(n∈N*).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由f′(x)=ex-1=0,得x=0
∵当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0
∴f(x)在(-∞,0)上为减函数;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数
∴[f(x)]min=f(0)=1
∴x∈R时,f(x)≥1
(2)由(1)可知:当x>0时,ex>x+1,即x>ln(x+1)
则1>ln2,class="stub"1
2
>ln(class="stub"1
2
+1)
,,class="stub"1
n
>ln(class="stub"1
n
+1)

1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
>ln2+lnclass="stub"3
2
+lnclass="stub"4
3
+…+lnclass="stub"n+1
n
=ln(n+1)

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