已知奇函数f(x)的定义域是R,且f(x)=f(1-x),当0≤x≤12时,f(x)=x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的解析式;(3)求函数f(x)的值

题目简介

已知奇函数f(x)的定义域是R,且f(x)=f(1-x),当0≤x≤12时,f(x)=x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的解析式;(3)求函数f(x)的值

题目详情

已知奇函数f(x)的定义域是R,且f(x)=f(1-x),当0≤x≤
1
2
时,f(x)=x-x2
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的解析式;
(3)求函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x+2)=f(1-(x+2))=f(-x-1)=-f(x+1)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),
所以f(x)是周期为2的函数.
(2)∵当x∈[class="stub"1
2
,1]
时,f(x)=f(1-x)=(1-x)-(1-x)2=x-x2,
∴x∈[0,1]时,f(x)=x-x2
∴当x∈[1,2]时,f(x)=f(x-2)=-f(2-x)=(2-x)2-(2-x)=x2-3x+2.
∴当x∈[1,2]时,f(x)=x2-3x+2.
(3)由函数是以2为周期的函数,故只需要求出一个周期内的值域即可,由(2)知
f(x)=
x-x2   (0≤x≤1)
x+x2   (-1≤x≤0)

故在[-1,1]上函数的值域是[-class="stub"1
4
,class="stub"1
4
]

故值域为[-class="stub"1
4
,class="stub"1
4
]

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