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已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0成立．（1）试求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[-π2，π2]的单调性，并用单调性定义予以证明

题目简介

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0成立．（1）试求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[-π2，π2]的单调性，并用单调性定义予以证明

题目详情

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-
π
2
，
π
2
]的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若f(x)=
3
2
2
，求满足条件的所有实数x的集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵2f（x）+f（-x）-3•2sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3•2sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得f(x)=21+sinx-class="stub"1
2sinx
；
（2）f（x）在[-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
]上单调递增，
证明：任意x1，x2∈[-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
]，设x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(21+sinx1-class="stub"1
2sinx1
)-(21+sinx2-class="stub"1
2sinx2
)
=2(2sinx1-2sinx2)+(class="stub"1
2sinx2
-class="stub"1
2sinx1
)
=(2sinx1-2sinx2)(2+class="stub"1
2sinx1+sinx2
)

因为x1，x2∈[-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
]，所以sinx1＜sinx2，
所以2sinx1＜2sinx2，又2sinx1+sinx2＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
]上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在[class="stub"π
2
，class="stub"3π
2
]上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2sinx，则t∈（0，2]，由2t-class="stub"1
t
=
3
2
2
，解得t=
2
或t=-
2
4
（舍）．
所以2sinx=
2
=2class="stub"1
2
，sinx=log22class="stub"1
2
=class="stub"1
2
，
故x=class="stub"π
6
+2kπ，k∈Z，或x=class="stub"5π
6
+2kπ，k∈Z．
故满足条件的所有实数x的集合为{x|x=class="stub"π
6
+2kπ，或x=class="stub"5π
6
+2kπ，k∈Z}．

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