已知f(x)=log2a-2-xx-a的是奇函数．（I）求a的值；（II）若关于x的方程f-1（x）=m•2-x有实解，求m的取值范围．-数学

题目简介

已知f(x)=log2

a-2-x

x-a

的是奇函数．
（I）求a的值；
（II）若关于x的方程f^-1（x）=m•2^-x有实解，求m的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（I）由class="stub"a-2-x

x-a

＞0得：a-2＜x＜a
∵f（x）为奇函数，∴a-2=-a⇒a=1．
经验证可知：a=1时，f（x）是奇函数，a=1为所求
（II）∵f(x)=log2class="stub"1+x

1-x

，∴f-1(x)=

2x-1

2x+1

．
法一：由f-1（x）=m•2-x得：

(2x)2-2x

2x+1

(2x+1)2-3(2x+1)+2

2x+1

=(2x+1)+class="stub"2

2x+1

-3≥2

-3.

当且仅当x=log2(

-1)时，mmin=2

-3

所以m的取值范围是[2

-3，+∞)
法二：原方程即（2x）2-（m+1）2x-m=0设2x=t，则t2-（m+1）t-m=0
原方程有实解，等价于方程t2-（m+1）t-m=0有正实解
令g（t）=t2-（m+1）t-m则g(0)＜0或

g(0)=0

class="stub"m+1

＞0

或

g(0)＞0

△=(m+1)2+4m≥0

class="stub"m+1

＞0

⇒m＞0或m=0或2

-3≤m＜0
所以m的取值范围是[2

-3，+∞)