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> 设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1.(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;(2)g(x)=log21+xk,若x∈[12,23]时,log21+x1-x≤g(x)恒成
设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1.(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;(2)g(x)=log21+xk,若x∈[12,23]时,log21+x1-x≤g(x)恒成
题目简介
设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1.(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;(2)g(x)=log21+xk,若x∈[12,23]时,log21+x1-x≤g(x)恒成
题目详情
设a∈R,f(x)为奇函数,且
f(2x)=
a•
4
x
-
a
-2
4
x
+1
.
(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;
(2)
g(x)=lo
g
2
1+x
k
,若
x∈[
1
2
,
2
3
]
时,
lo
g
2
1+x
1-x
≤g(x)
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)令t=2x,得f (x)=
a•
2
x
-
a
-2
2
x
+1
-------------------------------(1分)
∵f (x)是奇函数,∴f(0)=0,解之可得a=1
∴函数的解析式为f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
-----------------------------(3分)
∵由y=
2
x
-1
2
x
+1
解出2x=
class="stub"1+y
1-y
>0,解之得-1<y<1
∴值域为 (-1,1)-------------------------------------------------(6分)
(2)
lo
g
2
class="stub"1+x
1-x
≤
lo
g
2
class="stub"1+x
k
对x∈
[
class="stub"1
2
,
class="stub"2
3
]
恒成立
即:
lo
g
2
class="stub"1+x
1-x
≤
log
2
class="stub"1+x
k
log
2
2
,
不等式
lo
g
2
class="stub"1+x
1-x
≤
2lo
g
2
class="stub"1+x
k
对x∈
[
class="stub"1
2
,
class="stub"2
3
]
恒成立------(8分)
即
class="stub"1+x
1-x
≤
(1+x)
2
k
2
k>0
----①,对于x∈
[
class="stub"1
2
,
class="stub"2
3
]
恒成立
由①,得k2≤1-x2对于x∈
[
class="stub"1
2
,
class="stub"2
3
]
恒成立---------------------------(10分)
∴k2≤1-
class="stub"4
9
=
class="stub"5
9
,解之得0<k≤
5
3
----------------------------------(12分)
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∵f (x)是奇函数,∴f(0)=0,解之可得a=1
∴函数的解析式为f(x)=
∵由y=
∴值域为 (-1,1)-------------------------------------------------(6分)
(2)log2
即:log2
不等式log2
即
由①,得k2≤1-x2对于x∈[
∴k2≤1-