设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1.(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;(2)g(x)=log21+xk,若x∈[12,23]时,log21+x1-x≤g(x)恒成

题目简介

设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=a•4x-a-24x+1.(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;(2)g(x)=log21+xk,若x∈[12,23]时,log21+x1-x≤g(x)恒成

题目详情

设a∈R,f(x)为奇函数,且f(2x)=
a•4x-a-2
4x+1

(1)求a的值及f(x)的解析式和值域;
(2)g(x)=log
2
1+x
k
,若x∈[
1
2
2
3
]
时,log2
1+x
1-x
≤g(x)
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令t=2x,得f (x)=
a•2x-a-2
2x+1
-------------------------------(1分)
∵f (x)是奇函数,∴f(0)=0,解之可得a=1
∴函数的解析式为f(x)=
2x-1
2x+1
-----------------------------(3分)
∵由y=
2x-1
2x+1
解出2x=class="stub"1+y
1-y
>0,解之得-1<y<1
∴值域为 (-1,1)-------------------------------------------------(6分)
(2)log2class="stub"1+x
1-x
log
2
class="stub"1+x
k
对x∈[class="stub"1
2
,class="stub"2
3
]
恒成立
即:log2class="stub"1+x
1-x
log2class="stub"1+x
k
log2
2

不等式log2class="stub"1+x
1-x
2log2class="stub"1+x
k
对x∈[class="stub"1
2
,class="stub"2
3
]
恒成立------(8分)
class="stub"1+x
1-x
(1+x)2
k2
k>0
----①,对于x∈[class="stub"1
2
,class="stub"2
3
]
恒成立
由①,得k2≤1-x2对于x∈[class="stub"1
2
,class="stub"2
3
]
恒成立---------------------------(10分)
∴k2≤1-class="stub"4
9
=class="stub"5
9
,解之得0<k≤
5
3
----------------------------------(12分)

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