首页 > 已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2

题目简介

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2

题目详情

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）；
（Ⅰ）证明f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较f(
1
22
+
2
23
+…+
n
2n+1
)与1的大小，并给与证明．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（Ⅰ）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1）
∴f（x2-x1）＞0
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0
即f（x2）＞f（x1）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤
4f2(x)-8f(x)+5
4-4f(x)
对x∈[0，1]恒成立，
设y=
4f2(x)-8f(x)+5
4-4f(x)
=1-f(x)+class="stub"1
4[1-f(x)]
≥1，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令Sn=class="stub"1
22
+class="stub"2
23
+class="stub"3
24
+…+class="stub"n
2n+1
----------①，
则class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
23
+class="stub"2
24
+class="stub"3
25
+…+class="stub"n
2n+2
--------------②，
由①-②得，class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+class="stub"1
24
+…+class="stub"1
2n+1
-class="stub"n
2n+2
，即，Sn=class="stub"1
2 
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
=1-class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
＜1
所以f(class="stub"1
22
+class="stub"2
23
+…+class="stub"n
2n+1
)＜f(1)=1．

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