设函数f(x)=x2+bln(2x+1),其中b≠0.(1)若己知函数f(x)是增函数,求实数b的取值范围;(2)若己知b=1,求证:对任意的正整数n,不等式n<f(n)恒成立.-数学

题目简介

设函数f(x)=x2+bln(2x+1),其中b≠0.(1)若己知函数f(x)是增函数,求实数b的取值范围;(2)若己知b=1,求证:对任意的正整数n,不等式n<f(n)恒成立.-数学

题目详情

设函数f(x)=x2+bln(2x+1),其中b≠0.
(1)若己知函数f(x)是增函数,求实数b的取值范围;
(2)若己知b=1,求证:对任意的正整数n,不等式n<f(n)恒成立.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知,f(x)的定义域为(-class="stub"1
2
,+∞),f/(x)=
4x2+2x+2b
2x+1

∵函数f(x)是增函数,∴f/(x)=
4x2+2x+2b
2x+1
≥0
在(-class="stub"1
2
,+∞)上恒成立,
∴4x2+2x+2b≥0在(-class="stub"1
2
,+∞)上恒成立,即b≥-2x2-x在(-class="stub"1
2
,+∞)上恒成立
又∵-2x2-x≤class="stub"1
8
,当且仅当x=-class="stub"1
4
时,等号成立,∴b≥class="stub"1
8

(Ⅱ)∵b=1,∴f(x)=x2+ln(2x+1)
设函数g(x)=f(x)-x=x2-x+ln(2x+1),则g(x)的定义域也是(-class="stub"1
2
,+∞),并且g/(x)=
4x2+1
2x+1
>0
 
∴g(x)在整个定义域(-class="stub"1
2
,+∞)上是增函数.
∴对任意的正整数n,有g(n)>g(0)恒成立
即对任意的正整数n,f(n)-n>0,也即不等式n<f(n)恒成立.

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