首页 > 已知向量OA=(mcosα，msinα)(m≠0)，OB=(-sinβ，cosβ)．其中O为坐标原点．（Ⅰ）若α=β+π6且m＞0，求向量OA与OB的夹角；（Ⅱ）若|OB|≤12|AB|对任意实数α、

已知向量OA=(mcosα，msinα)(m≠0)，OB=(-sinβ，cosβ)．其中O为坐标原点．（Ⅰ）若α=β+π6且m＞0，求向量OA与OB的夹角；（Ⅱ）若|OB|≤12|AB|对任意实数α、

题目简介

已知向量OA=(mcosα，msinα)(m≠0)，OB=(-sinβ，cosβ)．其中O为坐标原点．（Ⅰ）若α=β+π6且m＞0，求向量OA与OB的夹角；（Ⅱ）若|OB|≤12|AB|对任意实数α、

题目详情

已知向量
OA
=(mcosα，msinα)(m≠0)，
OB
=(-sinβ，cosβ)．其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若α=β+
π
6
且m＞0，求向量
OA
与
OB
的夹角；
（Ⅱ）若|
OB
|≤
1
2
|
AB
|对任意实数α、β都成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：重庆一模

答案

（Ⅰ）设它们的夹角为θ，则
cosθ=
OA
•
OB
|
OA
||
OB
|
=
m(-cosαsinβ+sinαcosβ)
m
=sin(α-β)=sinclass="stub"π
6
=class="stub"1
2
，
故θ=class="stub"π
3
…（6分）．
（Ⅱ）由|
AB
|≥2|
OB
|
得（mcosα+sinβ）2+（msinα-cosβ）2≥4
即m2+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立…（9分）
则
m＞0
m2-2m+1≥4
或
m＜0
m2+2m+1≥4
，
解得m≤-3或m≥3…（13分）．

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