首页 > 已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，c11+c222+…+cnn2=cn+1n+1（n∈N*）

已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，c11+c222+…+cnn2=cn+1n+1（n∈N*）

题目简介

已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，c11+c222+…+cnn2=cn+1n+1（n∈N*）

题目详情

已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，
c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1
（n∈N*）
（1）求数列an、bn的通项公式；
（2）求数列cn的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+
7
2
)-
3
bn+1
＞cn+6n+15对一切n∈N*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a1=1，an+1=an+n（n∈N*）
∴n≥2，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1=
n(n-1)
2
+1=class="stub"1
2
n2-class="stub"1
2
n+1
∴an=class="stub"1
2
n2-class="stub"1
2
n+1（n∈N*），（n+2）bn+1=nbn（n∈N*）
∴
bn+1
bn
=class="stub"n
n+2
，
∴n≥2，bn=
bn
bn-1
•
bn-1
bn-2
…
b2
b1
•b1=class="stub"n-1
n+1
•class="stub"n-2
n
…class="stub"1
3
•1=class="stub"2
n(n+1)
，
∴bn=class="stub"2
n(n+1)
（n∈N*）

（2）c1=1，
c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1

∴
c1
1
+
c2
22
+…+
cn-1
(n-1)2
=
cn
n
（n≥2）（n∈N*）
两式相减得：
cn
n2
=
cn+1
n+1
-
cn
n

∴
cn+1
cn
=
(n+1)2
n2
，n=1，
c1
1
=
c2
2
得出c2=2，n≥2
∴cn=
cn
cn-1
•
cn-1
cn-2
…
c3
c2
•c2=
n2
(n-1)2
•
(n-1)2
(n-2)2
…
32
22
•2=
n2
2

cn=
1，n=1
n2
2
，n≥2，n∈N*
．
（3）当n=1时，k(a1+class="stub"7
2
)-3•class="stub"1
b2
＞c1+6+15
∴k＞class="stub"62
9
且k∈N*k≥7且k∈N*
当n≥2时，k(an+class="stub"7
2
)-class="stub"3
bn+1
＞cn+6n+15，即k(
n2
2
-class="stub"n
2
+class="stub"9
2
)-class="stub"3
2
(n+2)(n+1)＞
n2
2
+6n+15
k（n2-n+9）＞4n2+21n+36
∵n2-n+9＞0恒成立，
∴k＞
4n2+21n+36
n2-n+9

事实上：
4n2+21n+36
n2-n+9
=4+class="stub"25
n+class="stub"9
n
-1
n+class="stub"9
n
≥6（n=3取等号）
∴(
4n2+21n+36
n2-n+9
)max=9∴k＞9且k∈N*．
综上：k≥10，k∈N*故k的最小值为10．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网