已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)•f[f(x)+1x]=1,则f(1)=()A.1B.1+52或1-52C.1+52D.1-52-数学

题目简介

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)•f[f(x)+1x]=1,则f(1)=()A.1B.1+52或1-52C.1+52D.1-52-数学

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已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)•f[f(x)+
1
x
]=1
,则f(1)=(  )
A.1B.
1+
5
2
1-
5
2
C.
1+
5
2
D.
1-
5
2
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

故设f(1)=t,由题意知t≠0,则代入f(x)•f[f(x)+class="stub"1
x
]=1
得,
f(1)f[f(1)+1]=1,即f(t+1)=class="stub"1
t

令x=t+1代入f(x)•f[f(x)+class="stub"1
x
]=1
得,f(t+1)f[f(t+1)+class="stub"1
t+1
]=1,
∴f(class="stub"1
t
+class="stub"1
t+1
)=t=f(1),
∵在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,
class="stub"1
t
+class="stub"1
t+1
=1,化简得t2-t-1=0,
解得,t=
1+
5
2
1-
5
2

故选B.

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