首页 > 如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x1，x2∈I，都有12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=1x-alnx．（Ⅰ）证明：当a＞0时，

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x1，x2∈I，都有12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=1x-alnx．（Ⅰ）证明：当a＞0时，

题目简介

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x1，x2∈I，都有12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=1x-alnx．（Ⅰ）证明：当a＞0时，

题目详情

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x1，x2∈I，都有
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=
1
x
-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[
1
2
，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）任取x1，x2∈（0，+∞），则class="stub"1
2
[f(x1)+f(x2)]=class="stub"1
2
[class="stub"1
x1
-alnx1+class="stub"1
x2
-alnx2]=
x1+x2
2x1x2
-aln
x1x2
，…（2分）
f(
x1+x2
2
)=class="stub"2
x1+x2
-aln
x1+x2
2
，…（3分）
∵x12+x22≥2x1x2，∴（x1+x2）2≥4x1x2，
又x1＞0，x2＞0，
x1+x2
2x1x2
≥class="stub"2
x1+x2
，…（5分）
又
x1+x2
2
≥
x1x2
，a＞0，
∴-aln
x1x2
≥aln
x1+x2
2
，
即class="stub"1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)．
∴f（x）为（0，+∞）上的下凸函数…（7分）
答：f（x）为（0，+∞）上的下凸函数
（Ⅱ）先对所给的函数求导得到f′(x)=-class="stub"1
x2
-class="stub"a
x
，…（9分）
∵|f′(x)|＜1，即|class="stub"1
x2
+class="stub"a
x
|＜1，
∴-(x+class="stub"1
x
)＜a＜x-class="stub"1
x
，…（11分）
∵x∈[class="stub"1
2
，2]时，|f′(x)|＜1恒成立，
设g(x)=-(x+class="stub"1
x
)，h(x)=x-class="stub"1
x

则有gmax（x）＜a＜hmin（x），
又g(x)=-(x+class="stub"1
x
)在[class="stub"1
2
，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数
∴gmax（x）=g（1）=-2…（12分），
而h(x)=x-class="stub"1
x
在[class="stub"1
2
，2]上为增函数，
∴hmin(x)=h(class="stub"1
2
)=-class="stub"3
2
…（13分）
∴a∈(-2，-class="stub"3
2
)…（14分）
答：实数a的取值范围是（-2，-class="stub"3
2
）

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