已知函数f(x)=ax2+x+aex.(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥1e2恒成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax2+x+aex.(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥1e2恒成立,求a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
ax2+x+a
ex

(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥
1
e2
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:门头沟区一模

答案

(Ⅰ)由题意可得f′(x)=
(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex
(ex)2
=
-ax2+(2a-1)x+1-a
ex
 …(2分)
故可得f′(0)=1-a,因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
而直线的斜率为-2,所以1-a=-2,解得a=3                         …(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
-ax2+(2a-1)x+1-a
ex
=
-(ax+1-a)(x-1)
ex
,令f′(x)=0,
当a=0时,x=1,在(0,1)上,有f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
在(1,2)上,有f′(x)<0,函数f(x)单调递减,f(0)=0,f(2)=class="stub"2
e2

故函数f(x)的最小值为0,结论不成立.…(6分)
当a≠0时,x1=1,x2=1-class="stub"1
a
                               …(7分)
若a<0,f(0)=a<0,结论不成立                     …(9分)
若0<a≤1,则≤0,在(0,1)上,有f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
在(1,2)上,有f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
只需
f(0)≥class="stub"1
e2
f(2)≥class="stub"1
e2
,解得
a≥class="stub"1
e2
a≥-class="stub"1
5
,所以class="stub"1
e2
≤a≤1
            …(11分)
若a>1,则0<1-class="stub"1
a
<1
,函数在x=1-class="stub"1
a
处有极小值,只需
f(1-class="stub"1
a
)≥class="stub"1
e2
f(2)≥class="stub"1
e2

解得
2a-1≥e-1-class="stub"1
a
a≥-class="stub"1
5
,因为2a-1>1,e-1-class="stub"1
a
<1,所以a>1   …13
综上所述,a≥class="stub"1
e2
  …(14分)

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