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> 已知函数f(x)=ax2+x+aex.(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥1e2恒成立,求a的取值范围.-数学
已知函数f(x)=ax2+x+aex.(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥1e2恒成立,求a的取值范围.-数学
题目简介
已知函数f(x)=ax2+x+aex.(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥1e2恒成立,求a的取值范围.-数学
题目详情
已知函数f(x)=
a
x
2
+x+a
e
x
.
(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥
1
e
2
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:门头沟区一模
答案
(Ⅰ)由题意可得f′(x)=
(2ax+1)
e
x
-(a
x
2
+x+a)
e
x
(e
x
)
2
=
-a
x
2
+(2a-1)x+1-a
e
x
…(2分)
故可得f′(0)=1-a,因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
而直线的斜率为-2,所以1-a=-2,解得a=3 …(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
-a
x
2
+(2a-1)x+1-a
e
x
=
-(ax+1-a)(x-1)
e
x
,令f′(x)=0,
当a=0时,x=1,在(0,1)上,有f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
在(1,2)上,有f′(x)<0,函数f(x)单调递减,f(0)=0,f(2)=
class="stub"2
e
2
,
故函数f(x)的最小值为0,结论不成立.…(6分)
当a≠0时,x1=1,x2=1-
class="stub"1
a
…(7分)
若a<0,f(0)=a<0,结论不成立 …(9分)
若0<a≤1,则≤0,在(0,1)上,有f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
在(1,2)上,有f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
只需
f(0)≥
class="stub"1
e
2
f(2)≥
class="stub"1
e
2
,解得
a≥
class="stub"1
e
2
a≥-
class="stub"1
5
,所以
class="stub"1
e
2
≤a≤1
…(11分)
若a>1,则
0<1-
class="stub"1
a
<1
,函数在x=1-
class="stub"1
a
处有极小值,只需
f(1-
class="stub"1
a
)≥
class="stub"1
e
2
f(2)≥
class="stub"1
e
2
解得
2a-1≥
e
-1-
class="stub"1
a
a≥-
class="stub"1
5
,因为2a-1>1,
e
-1-
class="stub"1
a
<1,所以a>1 …13
综上所述,a≥
class="stub"1
e
2
…(14分)
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解得
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