设f(x)=xe-2+x2,g(x)=exx,对∀x1,x2∈R+,有f(x1)k≤g(x2)k+1恒成立,则正数的k取值范围()A.(0,1)B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.[12e2-1,+∞

题目简介

设f(x)=xe-2+x2,g(x)=exx,对∀x1,x2∈R+,有f(x1)k≤g(x2)k+1恒成立,则正数的k取值范围()A.(0,1)B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.[12e2-1,+∞

题目详情

设f(x)=
x
e-2+x2
,g(x)=
ex
x
,对∀x1x2R+,有
f(x1)
k
g(x2)
k+1
恒成立,
 
则正数的k取值范围(  )
A.(0,1)B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.[
1
2e2-1
,+∞)
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

当x>0时,由基本不等式可得,f(x)=class="stub"x
e-2+x2
=class="stub"1
x+class="stub"1
e2x
≤class="stub"1
2
x•class="stub"1
e2x
=class="stub"e
2

g(x)=
ex
x
g(x)=
(x -1)ex
x2

当x≥1时,g′(x)≥0;x<1时g′(x)<0
∴g(x)在(-∞,1)单调递减,在[1,+∞)单调递增
从而可得当x=1时函数g(x)有最小值e
当x1>0,x2>0时,
f(x1)
k
g(x2)
k+1
恒成立,且k>0
则只要
f(x1)
k
 max
g(x2)
k+1
 min
即可
class="stub"e
2k
≤class="stub"e
k+1
,解可得k≥1
故选:C

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