首页 > 已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有a⊥b，当|x|≥2时，a∥b．（1）求函数式y=f（x）；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若

已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有a⊥b，当|x|≥2时，a∥b．（1）求函数式y=f（x）；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若

题目简介

已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有a⊥b，当|x|≥2时，a∥b．（1）求函数式y=f（x）；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若

题目详情

已知向量
a
=(x2-3，1)，
b
=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有
a
⊥
b
，当|x|≥2时，
a
∥
b
．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：惠州模拟

答案

（1）当|x|＜2时，由
a
⊥
b
得
a
•
b
=(x2-3)x-y=0，y=x3-3x；（|x|＜2且x≠0）
当|x|≥2时，由
a
∥
b
．得y=-class="stub"x
x2-3

∴y=f(x)=
x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0)
class="stub"x
3-x2
．(x≥2或x≤-2)

（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x2-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=
(3-x2)-x(-2x)
(3-x2)2
=
3+x2
(3-x2)2
＞0
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥class="stub"x
3-x2
对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=
(3-x2)-x(-2x)
(3-x2)2
=
3+x2
(3-x2)2
＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=class="stub"-2
3-4
=2，f(2)=class="stub"2
3-4
=-2
当x≤-2时f(x)=class="stub"x
3-x2
＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．

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