已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-13，1)，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）

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已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-

，1)，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）g'（x）=3x2+2ax-1，由题意3x2+2ax-1＜0的解集是（-class="stub"1

，1）
即3x2+2ax-1=0的两根分别是-class="stub"1

，1
将x=1或-class="stub"1

代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x3-x2-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x2-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g'（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-class="stub"3

x-class="stub"1

对x∈（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=lnx-class="stub"3x

-class="stub"1

，则h′（x）=class="stub"1

-class="stub"3

+class="stub"1

2x2

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-class="stub"1

（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范围是[-2，+∞）

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已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为(-13，1)，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）

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