首页 > 已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有an=1f(n)，bn

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有an=1f(n)，bn

题目简介

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有an=1f(n)，bn

题目详情

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对∀n∈N*，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n+1
)+1，求：Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1及Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
；
（Ⅲ）求F（n）=an+1+an+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：宁波模拟

答案

（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
令x1=x2=0得f（0）=-1，再令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1
∴f（-x）+1=-[f（x）+1]，
函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x1=n，x2=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，an=class="stub"1
2n-1
，bn=2×class="stub"1
2n+1
-1+1=class="stub"1
2n
，
∴anan+1=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
Sn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1

又
bn
an
=(2n-1)class="stub"1
2n
，
Tn=1×class="stub"1
2
+3×class="stub"1
22
+…+(2n-1)class="stub"1
2n
①
class="stub"1
2
Tn=1×class="stub"1
22
+3×class="stub"1
23
+…+(2n-1)class="stub"1
2n+1
②
由①-②得出
class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+… +class="stub"1
2n-1
)-(2n-1)class="stub"1
2n+1

=class="stub"1
2
+(1-class="stub"1
2n-1
)-(2n-1)class="stub"1
2n+1

计算整理得出得
Tn=3-class="stub"2n+3
2n

（3）∵F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=class="stub"1
(4n+1)(4n+3)(2n+1)
＞0
∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，
∴F（n）的最小值为F(2)=a3+a4=class="stub"12
35

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