首页 > 设函数f(x)=x22-ax+a2-12，a∈R．（Ⅰ）若∀x∈[2，2]，关于x的不等式f(x)≥a2-42恒成立，试求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，试求a的取值

设函数f(x)=x22-ax+a2-12，a∈R．（Ⅰ）若∀x∈[2，2]，关于x的不等式f(x)≥a2-42恒成立，试求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，试求a的取值

题目简介

设函数f(x)=x22-ax+a2-12，a∈R．（Ⅰ）若∀x∈[2，2]，关于x的不等式f(x)≥a2-42恒成立，试求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，试求a的取值

题目详情

设函数f(x)=
x2
2
-ax+
a2-1
2
，a∈R．
（Ⅰ）若∀x∈[
2
，2]，关于x的不等式f(x)≥
a2-4
2
恒成立，试求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，试求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）依题得：∀x∈[
2
，2]，不等式x2+3≥2ax恒成立，则a≤class="stub"x
2
+class="stub"3
2x

设g(x)=class="stub"x
2
+class="stub"3
2x
，则a≤g（x）min即可
又g(x)=class="stub"x
2
+class="stub"3
2x
≥2
class="stub"x
2
•class="stub"3
2x
=
3
，当且仅当x=
3
时，g(x)min=g(
3
)=
3
．
∴a的取值范围是(-∞，
3
]
（2）二次函数f（x）的图象开口向上，对称轴是直线x=a
依题意得：
①当a=2时，令f（x）=0，得x=1，x=3
∴在[
2
，2]上f（x）有两个零点，不合题意
②当a＜2时，要使函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，只需满足
f(0)＜0
f(4)≥0
即
a2-1＜0
a2-8a+15≥0

解得-1＜a＜1
当a=-1时满足题意，a=1时不满足题意，则-1≤a＜1
③当a＞2时，要使函数f（x）在区间[0，4]上恰有一个零点，只需满足
f(0)≥0
f(4)＜0
即
a2-1≥0
a2-8a+15＜0

解得3＜a＜5
当a=5时满足题意，a=3时不满足题意，则3＜a≤5
∴a的取值范围是[-1，1）∪（3，5]

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