已知f(x)=ax3+3x2-x+1,a∈R.(Ⅰ)当a=-3时,求证:f(x)=在R上是减函数;(Ⅱ)如果对∀x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知f(x)=ax3+3x2-x+1,a∈R.(Ⅰ)当a=-3时,求证:f(x)=在R上是减函数;(Ⅱ)如果对∀x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知f(x)=ax3+3x2-x+1,a∈R.
(Ⅰ)当a=-3时,求证:f(x)=在R上是减函数;
(Ⅱ)如果对∀x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:东莞二模

答案

(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1,
∵f′(x)=-9x2+6x-1=-(3x-1)2≤0,
∴f(x)在R上是减函数;
(Ⅱ)∵∀x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,
即∀x∈R不等式3ax2+6x-1≤4x恒成立,
∴∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立,
当a≥0时,∀x∈R,3ax2+2x-1≤0不恒成立,
当a<0时,∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立,
即△=4+12a≤0,
∴a≤-class="stub"1
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