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已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且a1=5，数列{xn}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠12，t≠1)，设区间Dn=[1，an]（a

题目简介

已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且a1=5，数列{xn}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠12，t≠1)，设区间Dn=[1，an]（a

题目详情

已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*），且a1=5，数列{xn}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠
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，t≠1)，设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，曲线C上存在点Pn（xn，f（xn）），使得点Pn处的切线与直线A0An平行．
（1）证明：{logt（xn-1）+1}是等比数列；
（2）当Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{an}的前n项和为Sn，当t=
1
4
时，试比较Sn与n+7的大小，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行，
∴2xn=
an2-1
an-1
，即xn=
an+1
2
，
由xn+1=tf（xn+1-1）+1，得xn+1-1=t（xn-1）2，
∴logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1），
即logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]，
∴{logt（xn-1）+1}是首项为logt2+1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得logt（xn-1）+1=（logt2+1）•2n-1，
∴xn=1+class="stub"1
t
(2t)2n-1．
从而an=2xn-1=1+class="stub"2
t
(2t)2n-1，
由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立，
得an+1＜an，
即(2t)2n＜(2t)2n-1，
∴0＜2t＜1，
即0＜t＜class="stub"1
2
．
（3）当t=class="stub"1
4
时，an=1+8×(class="stub"1
2
)2n-1，
∴Sn=n+8[class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)4+…+(class="stub"1
2
)2n-1]，
当n≤3时，2n-1≤n+1；
当n≥4时，2n-1＞n+1，
∴当n≤3时，Sn≤n+8[class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)4]=n+class="stub"13
2
＜n+7．
当n≥4时，Sn＜n+8[class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+(class="stub"1
2
)4+…+(class="stub"1
2
)n+1]
=n+7-(class="stub"1
2
)n-2
＜n+7．
综上所述，对任意的n∈N*，都有Sn＜n+7．

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