设函数f(x)=x-1x,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.m<0B.m≤0C.m≤-1D.m<-1-数学

题目简介

设函数f(x)=x-1x,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.m<0B.m≤0C.m≤-1D.m<-1-数学

题目详情

设函数f(x)=x-
1
x
,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.m<0B.m≤0C.m≤-1D.m<-1
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

由f(mx)+mf(x)<0得mx-class="stub"1
mx
+mx-class="stub"m
x
<0

整理得:2mx<(m+class="stub"1
m
) class="stub"1
x
,即2mx2<m+class="stub"1
m
恒成立.
①当m>0时,2x2<1+ class="stub"1
m2
,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上无最大值,因此此时不合题意;
②当m<0时,2x2>1+class="stub"1
m2
,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,所以1+class="stub"1
m2
<2
,即m2>1,解得m<-1或m>1(舍去).
综合可得:m<-1.
故选D.

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