已知函数F(x)=2x满足F(x)=g(x)+h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若不等式g(2x)+ah(x)≥0对∀x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.-

题目简介

已知函数F(x)=2x满足F(x)=g(x)+h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若不等式g(2x)+ah(x)≥0对∀x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.-

题目详情

已知函数F(x)=2x满足F(x)=g(x)+h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若不等式g(2x)+ah(x)≥0对∀x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

由F(x)=g(x)+h(x)即2x=g(x)+h(x)①,得2-x=g(-x)+h(-x),
又g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数,所以2-x=g(x)-h(x)②,
联立①②解得,g(x)=
2x+2-x
2
,h(x)=
2x-2-x
2

g(2x)+ah(x)≥0,即
22x+2-2x
2
+a•
2x-2-x
2
≥0,也即(22x+2-2x)+a(2x-2-x)≥0,即(2x-2-x)2+2+a(2x-2-x)≥0,
令t=2x-2-x,∵x∈[1,2],∴t∈[class="stub"3
2
class="stub"15
4
],则不等式变为t2+2+at≥0,
所以不等式g(2x)+ah(x)≥0对∀x∈[1,2]恒成立,等价于t2+2+at≥0对t∈[class="stub"3
2
class="stub"15
4
]恒成立,也即a≥-t-class="stub"2
t
对t∈[class="stub"3
2
class="stub"15
4
]恒成立,
令y=-t-class="stub"2
t
,t∈[class="stub"3
2
class="stub"15
4
],则y′=-1+class="stub"2
t2
=
2-t2
t2
<0,所以y=-t-class="stub"2
t
在[class="stub"3
2
class="stub"15
4
]上递减,
所以ymax=-class="stub"3
2
-class="stub"2
class="stub"3
2
=-class="stub"17
6
,所以a≥-class="stub"17
6

故答案为:a≥-class="stub"17
6

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