首页 > 已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数ϕ(x)

已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数ϕ(x)

题目简介

已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数ϕ(x)

题目详情

已知函数f(x)=ex+
a
ex
(a∈R)（其中e是自然对数的底数）
（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；
（3）设函数ϕ(x)=
1
2
(x2-3x+3)[f(x)+f′(x)]，求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足
ϕ′(x0)
ex0
=
2
3
(t-1)2，并确定这样的x0的个数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=ex-e-x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．
故a=-1适合题意．
（2）a=0时，y=ex在区间[0，1]上单调递增，适合题意；
当a≠0时，令t=ex，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=ex单调递增，故y=|t+class="stub"a
t
|在t∈[1，e]时递增．
当a＞0时，函数y=t+class="stub"a
t
在t∈[1，e]时单调递增，得
a
≤1，∴0＜a≤1．
当a＜0时，y=t+class="stub"a
t
在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故∀t∈[1，e]，t+class="stub"a
t
≥0．
∴-1≤a＜0．
综上可知：-1≤a≤1．
（3）∵f（x）+f′（x）=ex+class="stub"a
ex
+ex-class="stub"a
ex
=2ex，∴φ（x）=（x2-3x+3）ex，∴
φ ′(x)
φ(x)
=x2-x．
要证明：对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足
ϕ′(x0)
ex0
=class="stub"2
3
(t-1)2．
等价于证明：对任意的t＞-2，方程x2-x=class="stub"2
3
(t-1)2在区间（-2，t）内有实数解．
令g（x）=x2-x-class="stub"2
3
(t-1)2，
则g（-2）=6-class="stub"2
3
(t-1)2=-class="stub"2
3
(t+2)(t-4)，g（t）=class="stub"1
3
(t-1)(t+2)．
所以①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）g（t）＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且只有一解．
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=-class="stub"2
3
(t-1)2＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且由两解．
③当t=1时，有且只有一个解x=0；
当t=4时，有且只有一个解x=3．
综上所述：对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足
ϕ′(x0)
ex0
=class="stub"2
3
(t-1)2．
且当t≥4或-2＜≤1时，有唯一的x0适合题意；
当1＜t＜4时，有两个不同的x0适合题意．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网